关于广义 Stokes 定理

Published on: 2026-06-16

Written by: Siriuns
description: 从stokes到形式与向量, 再到升调/降调/Hodge星算子

广义 Stokes 定理

我们知道, 曲面积分和曲线积分有三个常见公式 Green/Stokes/Gauss, 各自是:

$$\begin{array}{ccc}{\oint }_{\partial D}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y& ={\iint }_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})\mathrm{d}x\mathrm{d}y& \\ {\oint }_{\partial S}𝐗\cdot 𝝉\mathrm{d}s& ={\iint }_S(\mathrm{\nabla }\times 𝐗)\cdot 𝐧\mathrm{d}S& & ={\iint }_{S}curl𝐗\cdot 𝐧\mathrm{d}S\\ {\iint }_{\partial \mathrm{\Omega }}𝐗\cdot 𝐧\mathrm{d}S& ={\iiint }_{\mathrm{\Omega }}\mathrm{\nabla }\cdot 𝐗\mathrm{d}V& & ={\iiint }_{\mathrm{\Omega }}div𝐗\mathrm{d}V\end{array}$$

而这三个公式是可以用 广义Stokes公式 统一起来的, 该公式形式如下:

$${\int }_{\partial D}\omega ={\int }_D\mathrm{d}\omega$$

该公式涉及 k-形式/k-向量, 还有 边界算子 $\partial$ 和 外微分算子 $\mathrm{d}$, 而要想通过该公式推出前三个公式则需要了解 Hodge星 $\star$ /升调 $♯$ /降调 $♭$, 这些符号的定义还涉及对形式和向量的 内积.

关于形式

形式符号化的表示是: $\omega \in V^{\ast }=\mathrm{Hom}(V,ℝ)$.

首先我们都知道什么是 向量, 假设我们有向量空间 $V$, 而所谓 形式 是一个把 $V$ 中向量映射为实数的线性函数, 形式的所在空间我们称之为 对偶空间 $V^{\ast }$.

举个例子, $\mathrm{d}x$ 和 $\mathrm{d}y$ 在微分形式中被认为是一个1-形式. 一般高数中 ${\int }_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$ 的 $\mathrm{d}x,\mathrm{d}y$ 解释成对某点 $A$ 和临近 $A$ 的下一点 $A^{\prime }$ 在 $x,y$ 方向上的有向距离, 这个过程就是从向量到实数的一个映射, 而微分形式将这个过程抽象了出来.

关于 k-形式, k-向量 以及 楔积

楔积 $\wedge$ 是用来将形式与形式相连, 将向量与向量相连的符号, 其具有/满足 结合律, 反交换性, 双线性, 符号化表达如下, 设 $X,Y,Z$ 为形式/向量, 用 $degZ=|Z|=k$ 来表示其阶数, $p,q$ 为数:

$$\begin{array}{cc}X\wedge Y& =(-1{)}^{x+y}Y\wedge X\\ (X\wedge Y)\wedge Z& =X\wedge (Y\wedge Z)\\ (p\cdot X+q\cdot Y)\wedge Z& =p\cdot (X\wedge Z)+q\cdot (Y\wedge Z)\\ Z\wedge (p\cdot X+q\cdot Y)& =p\cdot (Z\wedge X)+q\cdot (Z\wedge Y)\end{array}$$

k-形式/k-向量 就是按照一定顺序用 楔积 将 $k$ 个 1-形式/1-向量 连接起来得到的东西, 其所在空间我们记为 ${\mathrm{\Lambda }}^{k}V$ 和 ${\mathrm{\Lambda }}^k{V}^{\ast }$. 从上面的 反交换性 中能看出, 顺序是重要的.

k-向量 很好理解, 只要把 $k$ 个向量按照一定顺序连接起来即可, 可以理解成有向 $k$ 维体积元. 而在一个定向空间 $V$ 中, 若 $k=\dim V$, 则可以说 k-向量 是正定向或是负定向的.

k-形式 则是将 k-向量 映射到 $ℝ$ 的线性映射. 其计算方法如下:

$$({\alpha }_1\wedge \cdots \wedge {\alpha }_k)(v_1\wedge \cdots \wedge v_k)=\det ({\alpha }_i(v_j))$$

举个常见的例子, 2-形式 $𝐧\mathrm{d}S$ 可以写作 $(\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z,\mathrm{d}z\wedge \mathrm{d}x,\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y)$.

关于 边界算子 $\partial$ 与 外微分算子 $\mathrm{d}$

边界算子 $\partial :C_k(M)\to C_{k-1}(M)$, 将 $k$ 维定向区域 $D$ 映射为其 $k-1$ 维边界 $\partial D$, 并诱导其的定向. 也就是说, 对于 $\partial D$ 中的一点 $p$, $v\in T_p(\partial D)$ 定向为正, 当且仅当 $T_{p}D$ 中 $n\wedge v$ 定向为正, $n$ 为 $p$ 点外法向量.

外微分算子 $\mathrm{d}:{\mathrm{\Omega }}^k(M)\to {\mathrm{\Omega }}^{k+1}(M)$, 将 $k$ 阶微分形式 $\omega$ 映射为 $k+1$ 阶微分形式 $\mathrm{d}\omega$. 此处 微分形式 $\omega :p\mapsto {\omega }_p,{\omega }_p\in {\mathrm{\Lambda }}^k(T_p^{\ast }M)$ 将一点 $p$ 映到 $p$ 点切空间 $T_p^{\ast }M$ 的 k-形式 上. 外微分算子 $\mathrm{d}$ 具有如下性质, 注意, 函数是 0-形式:

$$\begin{array}{cc}\mathrm{d}(\alpha \wedge \beta )& =\mathrm{d}\alpha \wedge \beta +(-1{)}^{|\alpha |}\alpha \wedge \mathrm{d}\beta \\ {\mathrm{d}}^2& =0\end{array}$$

关于 升调 $♯$, 降调 $♭$ 与 Hodge $\star$

我们不难发现, 在之前我们学习的 $curlX,divX$ 都不是形式, 都不能直接代入广义斯托克斯公式, 如果我们在空间上定义了内积, 我们可以借助三个工具 $♯,♭,\star$ 将这两个东西转化形式, 关于内积我们下个章节介绍.

Hodge 星算子的定义如下:

$$\star :{\mathrm{\Lambda }}^k{V}^{\ast }\to {\mathrm{\Lambda }}^{n-k}{V}^{\ast },\forall \alpha ,\beta \in {\mathrm{\Lambda }}^k{V}^{\ast },\alpha \wedge \star \beta =⟨\alpha ,\beta ⟩vol.$$

其中, $n=dimV$, $vol$ 是 n-形式, 其由该条件决定: 设 $(e_1,\cdots ,e_n)$ 为一组定向的标准正交基, 则 $vol(e_1\wedge \cdots \wedge e_n)=1$.

另外两个工具

$$\begin{array}{c}♯:{\mathrm{\Lambda }}^k{V}^{\ast }\to {\mathrm{\Lambda }}^{k}V\\ ♭:{\mathrm{\Lambda }}^{k}V\to {\mathrm{\Lambda }}^k{V}^{\ast }\end{array}$$

可以如下定义:

$$\begin{array}{cc}⟨{\alpha }^{♯},w⟩& =\alpha (w)\\ ⟨v,w⟩& =v^{♭}(w)\end{array}$$

同时还有非常对偶的性质:

$$\begin{array}{cc}⟨\alpha ,\beta ⟩& =\beta ({\alpha }^{♯})\\ ⟨v^{♭},\beta ⟩& =\beta (v)\end{array}$$

借助这三个工具, 就有:

$$\begin{array}{cc}curlX& =(\star \mathrm{d}(X^{♭}){)}^{♯}\\ divX& =\star \mathrm{d}\star (X^{♭})\end{array}$$

于是我们就能从 广义斯托克斯定理 推出 Green/Stokes/Gauss 这三个公式.

关于内积

我们在实数域上讨论. 一般我们讨论的内积是一个函数 $⟨\cdot ,\cdot ⟩:V\times V\to ℝ$, 满足 双线性, 对称性, 正定性. 而我们可以将内积扩张到 k-向量和k-向量/k-形式和k-形式 之间, 首先扩展到 k-向量:

$$⟨v_1\wedge \cdots \wedge v_k,w_1\wedge \cdots \wedge w_k⟩=det(⟨v_i,w_j⟩)$$

而后我们基于 k-向量 上的内积, 扩张到 k-形式 上:

$$⟨\alpha ,\beta ⟩=⟨{\alpha }^{♯},{\beta }^{♯}⟩$$